Test di Wilcoxon per campioni non indipendenti

È uno dei più potenti test non parametrici per verificare se due campioni statistici non indipendenti, provengono dalla stessa distribuzione. Può essere pensato come l’equivalente non parametrico del test t di Student per dati appaiati, e va utilizzato in luogo di questo quando i dati non siano distribuiti in modo gaussiano.

 

Ipotesi nulla

L’ipotesi nulla è che la differenza mediana tra coppie di osservazioni è zero. Si noti che questo è diverso dall’ipotesi nulla del t-test per dati appaiati, la quale asserisce che la differenza media tra coppie è zero, quindi in presenza di valori anomali il test di Wilcoxon è più robusto.

Assunti

  • i due campioni sono non indipendenti (ad esempio pressione arteriosa misurata sullo stesso individuo prima e dopo la somministrazione di un farmaco);
  • le due popolazioni a confronto siano distribuite in modo continuo;
  • le osservazioni sono confrontabili (cioè si può determinare univocamente una relazione di ordinamento).

Applicazione del test:

Per i calcoli si procede in questo modo :

  • determinare le differenze (con il segno) fra le n coppie di valori;
  • stabilire, per ciascuna differenza, il numero di posizione nella lista delle differenze ordinate (questa volta ignorando il segno) in ordine numerico non decrescente: la più piccola differenza osservata avrà numero di posizione 1, e via dicendo;
  • quando due o più differenze sono uguali, assegnare a ciascuna di esse la media dei numeri di posizione che esse dovrebbero avere; così, per esempio, se la quinta e la sesta differenza sono uguali, assegnare come numero di posizione nella lista il valore 5.5 a entrambe;
  • riassegnare il segno ai numeri di posizione nella lista (se la differenza avente quel numero di posizione era negativa, assegnare il segno meno, se era positiva assegnare il segno più);
  • calcolare il totale per i numeri di posizione con segno negativo e per i numeri di posizione con segno positivo, e chiamare T il più piccolo di questi due totali;
  • Si entri in tabella con N = numero delle differenze diverse da 0;
  • Fissato il livello di significatività, se il valore calcolato di T è inferiore a quello corrispondente riportato in tabella si può respingere l’ipotesi nulla.

I valori critici di  T  per un test bidirezionale o monodirezionale e per N compreso fra 6 e 25 sono riportati nella Tabella n.1 in appendice.

Poiché la distribuzione della statistica test è simmetrica intorno a n(n+1)/2, se la numerosità è sufficientemente elevata, si può ricorrere all’approssimazione alla normale standardizzata Z:

Z = (μ – T – 0,5) / s

essendo

μ = n · (n + 1) / 4

s = √ ((2n + 1) · μ / 6)

La statistica Z così calcolata corrisponde a sottoporre al test la mediana delle differenze. Il p-value corrispondente alla statistica Z rappresenta la probabilità di osservare per caso una differenza della grandezza di quella effettivamente osservata: se tale probabilità è sufficientemente piccola, si conclude per una significatività della differenza fra le mediane. Questa soluzione è sufficientemente accurata per n > 50.

–>Tavola di Wilcoxon  [Wilcoxon a un campione]<–

Test Wilcoxon con R

wilcox.test(x, ...)
a = c(24, 13, 19, 21, 19, 12, 22, 24, 34, 29, 19, 25)
b = c(15, 15, 14, 11, 17, 62, 17, 19, 66, 31, 13, 14)
wilcox.test(a,b, paired=TRUE)


Esempio

## Two-sample test.
## Hollander & Wolfe (1973), 69f.
## Permeability constants of the human chorioamnion (a placental
##  membrane) at term (x) and between 12 to 26 weeks gestational
##  age (y).  The alternative of interest is greater permeability
##  of the human chorioamnion for the term pregnancy.
x  https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/wilcox.test.html

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© 2016 by Vincenzo Napoleone

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